深入理解Android Matrix理論與使用的詳解

以前在線性代數中學習了矩陣，對矩陣的基本運算有一些了解，前段時間在使用GDI+的時候再次學習如何使用矩陣來變化圖像，看了之後在這裡總結說明。
首先大家看看下面這個3 x 3的矩陣，這個矩陣被分割成4部分。為什麼分割成4部分，在後面詳細說明。

首先給大家舉個簡單的例子：現設點P0（x0， y0）進行平移後，移到P（x，y），其中x方向的平移量為△x，y方向的平移量為△y，那麼，點P（x，y）的坐標為：
x = x0  + △x 
y = y0  + △y
采用矩陣表達上述如下： 

上述也類似與圖像的平移，通過上述矩陣我們發現，只需要修改矩陣右上角的2個元素就可以了。
我們回頭看上述矩陣的劃分： 

為了驗證上面的功能劃分，我們舉個具體的例子：現設點P0（x0 ，y0）進行平移後，移到P（x，y），其中x放大a倍，y放大b倍，

矩陣就是：，按照類似前面“平移”的方法就驗證。

圖像的旋轉稍微復雜：現設點P0（x0， y0）旋轉θ角後的對應點為P（x， y）。通過使用向量，我們得到如下：
x0 = r cosα 
y0 = r sinα
x = r cos(α+θ) = x0 cosθ - y0 sinθ 
y = r sin(α+θ) = x0 sinθ + y0 cosθ

於是我們得到矩陣：

如果圖像圍繞著某個點(a ，b)旋轉呢？則先要將坐標平移到該點，再進行旋轉，然後將旋轉後的圖像平移回到原來的坐標原點，在後面的篇幅中我們將詳細介紹。

Matrix學習——如何使用Matrix

本篇幅我們就結合Android 中的android.graphics.Matrix來具體說明，還記得我們前面說的圖像旋轉的矩陣：

從最簡單的旋轉90度的是：

在android.graphics.Matrix中有對應旋轉的函數： 
Matrix matrix = new Matrix(); 
matrix.setRotate(90); 
Test.Log(MAXTRIX_TAG,”setRotate(90):%s” , matrix.toString());

查看運行後的矩陣的值（通過Log輸出）：

與上面的公式基本完全一樣（android.graphics.Matrix采用的是浮點數，而我們采用的整數）。
有了上面的例子，相信大家就可以親自嘗試了。通過上面的例子我們也發現，我們也可以直接來初始化矩陣，比如說要旋轉30度：

前面給大家介紹了這麼多，下面我們開始介紹圖像的鏡像，分為2種：水平鏡像、垂直鏡像。先介紹如何實現垂直鏡像，什麼是垂直鏡像就不詳細說明。圖像的垂直鏡像變化也可以用矩陣變化的表示，設點P0（x0 ，y0 ）進行鏡像後的對應點為P（x ，y ），圖像的高度為fHeight，寬度為fWidth，原圖像中的P0（x0 ，y0 ）經過垂直鏡像後的坐標變為（x0 ，fHeight- y0）； 
x = x0 
y = fHeight – y0 
推導出相應的矩陣是：

final float f[] = {1.0F,0.0F,0.0F,0.0F,-1.0F,120.0F,0.0F,0.0F,1.0F}; 
Matrix matrix = new Matrix(); 
matrix.setValues(f);

按照上述方法運行後的結果： 

至於水平鏡像采用類似的方法，大家可以自己去試試吧。
實際上，使用下面的方式也可以實現垂直鏡像： 
Matrix matrix = new Matrix(); 
matrix.setScale (1.0，-1.0); 
matrix.postTraslate(0, fHeight);
這就是我們將在後面的篇幅中詳細說明。

Matrix學習——圖像的復合變化

Matrix學習——基礎知識篇幅中，我們留下一個話題：如果圖像圍繞著某個點P(a，b)旋轉，則先要將坐標系平移到該點，再進行旋轉，然後將旋轉後的圖像平移回到原來的坐標原點。

我們需要3步：
1. 平移——將坐標系平移到點P(a，b)；
2. 旋轉——以原點為中心旋轉圖像；
3. 平移——將旋轉後的圖像平移回到原來的坐標原點；
相比較前面說的圖像的幾何變化（基本的圖像幾何變化），這裡需要平移——旋轉——平移，這種需要多種圖像的幾何變化就叫做圖像的復合變化。
設對給定的圖像依次進行了基本變化F1、F2、F3…..、Fn，它們的變化矩陣分別為T1、T2、T3…..、Tn，圖像復合變化的矩陣T可以表示為：T = TnTn-1…T1。
按照上面的原則，圍繞著某個點(a，b)旋轉θ的變化矩陣序列是：

按照上面的公式，我們列舉一個簡單的例子：圍繞（100，100）旋轉30度(sin 30 = 0.5 ，cos 30 = 0.866) 
float f[]= { 0.866F,  -0.5F, 63.4F,0.5F, 0.866F,-36.6F,0.0F,    0.0F,  1.0F }; 
matrix = new Matrix(); 
matrix.setValues(f); 
旋轉後的圖像如下：

Android為我們提供了更加簡單的方法，如下： 
Matrix matrix = new Matrix(); 
matrix.setRotate(30，100，100); 
矩陣運行後的實際結果： 



與我們前面通過公式獲取得到的矩陣完全一樣。
在這裡我們提供另外一種方法，也可以達到同樣的效果： 
float a = 100.0F,b = 100.0F; 
matrix = new Matrix(); 
matrix.setTranslate(a,b); 
matrix.preRotate(30); 
matrix.preTranslate(-a,-b); 
將在後面的篇幅中為大家詳細解析
通過類似的方法，我們還可以得到：相對點P(a，b)的比例[sx,sy]變化矩陣

Matrix學習——Preconcats or Postconcats?

從最基本的高等數學開始，Matrix的基本操作包括：+、*。Matrix的乘法不滿足交換律，也就是說A*B ≠B*A。還有2種常見的矩陣：

有了上面的基礎，下面我們開始進入主題。由於矩陣不滿足交換律，所以用矩陣B乘以矩陣A，需要考慮是左乘（B*A），還是右乘（A*B）。在Android的android.graphics.Matrix中為我們提供了類似的方法，也就是我們本篇幅要說明的Preconcats matrix 與 Postconcats  matrix。下面我們還是通過具體的例子還說明：

通過輸出的信息，我們分析其運行過程如下：

看了上面的輸出信息。我們得出結論：Preconcats matrix相當於右乘矩陣，Postconcats  matrix相當於左乘矩陣。

Matrix學習——錯切變換

什麼是圖像的錯切變換（Shear transformation）？我們還是直接看圖片錯切變換後是的效果：

對圖像的錯切變換做個總結：

x = x0 + b*y0;
y = d*x0 + y0;

這裡再次給大家介紹一個需要注意的地方：

通過以上，我們發現Matrix的setXXXX()函數，在調用時調用了一次reset()，這個在復合變換時需要注意。

Matrix學習——對稱變換（反射）

什麼是對稱變換？具體的理論就不詳細說明了，圖像的鏡像就是對稱變換中的一種。

利用上面的總結做個具體的例子，產生與直線y= – x對稱的反射圖形，代碼片段如下：

當前矩陣輸出是：

圖像變換的效果如下：

附：三角函數公式
兩角和公式
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa 
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)
tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)
cot(a+b)=(cotacotb-1)/(cotb+cota) 
cot(a-b)=(cotacotb+1)/(cotb-cota)
倍角公式
tan2a=2tana/[1-(tana)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
sin2a=2sina*cosa
半角公式
sin(a/2)=√((1-cosa)/2) sin(a/2)=-√((1-cosa)/2)
cos(a/2)=√((1+cosa)/2) cos(a/2)=-√((1+cosa)/2)
tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa)) tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa))
cot(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa)) cot(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa)) 
tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1+cosa)
和差化積
2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)
2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) )
2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)
-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)
sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2
cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb
積化和差公式
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
誘導公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(pi/2-a)=cos(a)
cos(pi/2-a)=sin(a)
sin(pi/2+a)=cos(a)
cos(pi/2+a)=-sin(a)
sin(pi-a)=sin(a)
cos(pi-a)=-cos(a)
sin(pi+a)=-sin(a)
cos(pi+a)=-cos(a)
tga=tana=sina/cosa
萬能公式
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
其它公式
a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]
a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]
1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2
1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2
其他非重點三角函數
csc(a)=1/sin(a)
sec(a)=1/cos(a)
雙曲函數
sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2
cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2
tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)